网友提问：
数学里的充分性必要性和充分条件必要条件，该怎么理解？
优质回答：
这一部分的内容，对刚上高一的学生来说还是比较抽象的。
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前能推后就是充分，后能推前就是必要。
如果判断能不能推，就看前后谁的范围小，小能推大，大不能推小。
例如，若x>1，则x>2。
前面的范围大，后面的范围小，所以，前不能推后，后可以推前，因此必要不充分
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看過數海拾貝2的回答，非常到位。這裏講一個具體例子再作一些說明。日常生活中，電燈不可缺少。現在以電燈為例，說明充分條件和必要條件。
當我們看到燈亮時，就知道有電。所以燈亮是有電的充分條件;有電是燈亮的必要條件。因為沒有電，燈是不亮的。但是燈不亮卻不能證明沒有電。燈管壞了，或者沒有開燈，燈都不亮，卻仍然可以有電。燈亮是有電的充分條件，但不是必要條件。因為驗證是否有電有多種辦法，不一定是燈亮。但如果沒有電，無論想什麼辦法電燈都不可能亮起來。
有些命題既是充分的，也是必要的。大多數命題都是充分條件。也有少量命題是必要條件。
充分條件和必要條件是數學中最基本的概念之一。必須搞清它們的關係。一旦用錯，可能會有大麻煩。
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充分条件
P是Q的充分条件，意思就是：要让Q成立，只要P成立就足够（充分）了，也就是说，P成立可推出Q成立，写成逻辑语言为，
P?Q
其中 ? 表示“推出”的意思，P?Q 表示， 如果 P 成立 那么 Q 成立。
举个例子，
A: x=1
B: x2=1
当A成立时，则 x=1，于是x2=12=1，所以B成立，即，A?B，A是B的充分条件。
必要条件
P是Q的必要条件，意思是：若要让Q成立，则P成立是必须（必要）的，换句话说就是，如果P不成了，则Q一定不成立，写成逻辑语言为，
?P??Q
其中 逻辑运算符 ? 是否定的意思，?P 就表示 P不成。
上面那个例子中，当B不成立时，则 x2≠1，于是 x≠±1，这包括 x≠1，所以A不成立，即，?B??A，B是A的必要条件。
充分条件和必要条件之间的关系
其实，以上的 P、Q、A、B、P?Q、?P??Q 等，数学上都称为命题，其中，如果 P?Q 为原命题，则 Q?P 是逆命题、?P??Q 为否命题、?Q??P 为逆否命题。可以证明：
原命题成立 当且仅当 逆否命题成立。
于是 Q?P 当且仅当 ?Q??P，这说明 Q是P的 充分条件 当且仅当 P是Q的充分条件。
前例中，同时满足，A是B的充分条件 ，和，B是A的必要条件。
由于，否定之否定为肯定，即，??P=P，所以 P?Q 也是 ?Q??P 的逆否命题 。
注意：?P??Q 也是原命题 Q?P 的逆否命题，所以 P是Q 的必要条件 当且仅当 Q是P的充分条件。
充要条件
P既是Q的充分条件也是Q的必要条件，则称 P是Q的充要条件，也即是说，如果 P成立则Q成立，并且，如果 P不成了则Q不成立，即，P?Q 并且 ?P??Q，后者的逆否命题为 Q?P，即，P?Q，因此，充要条件记为，
P?Q
我们说 充要条件 的充分性，指的是 P?Q ，即，P是Q的充分条件，充要条件 的必要性，指的是 P?Q，即，P是Q的必要条件；
总结
简单来说：
P是Q的充分条件（充分性）就是，若P成立则Q成立，即，P?Q；
P是Q的必要条件（必要性）就是，若P不成了则Q不成了，即， ?P??Q，或 若Q成立则P成立，P?Q。
（附录A，证明 原命题成立 当且仅当 逆否命题成立。）
命题 P成立，称P为真，命题P不成立，则称P为假，分别用 1 和 0 表示 真 和 假。
复合命题 P?Q 称为 蕴含式，其成立与否完全由 P和Q 决定，规则如下：
复合命题 ?P 称为 否定式，规则如下：
以上两种综合，我们就有 ?P??Q 的规则如下：
观察比较就发现 ?P??Q 和 P?Q 关于P和Q的取值规则和完全一样，因此 它们等价。
（这是小石头写个家长的，至于家长在理解后如何讲给孩子，还需要家长动脑子，比如：可以将 “?” 想象成 “充电“ ，于是 P 是 Q的充分条件就是 P 给 Q 充电，P 是 Q的 必然条件 就是 Q 反过来给P 充电。）
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由断言A（或曰条件）可推出断言B，则A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。若A与B可以互推（即由A可得到B，从B也可推出A），则B可称为A的必要充分条件（简称为充要条件），A也可称为B的充要条件。或称条件（断言）A与B是等价的（条件），也常被描述为A当且仅当B（if and only if）。
