惯性矩单位
阅读对象：
（1）正在学习《振动力学》课程的学生
（2）从事振动分析和动态设计的工程技术人员
建议首先阅读（点击进入）：
1.《振动力学》辅导-3.1多自由度系统-建立振动方程2.《振动力学》辅导-4.1连续系统-概述
本节给出几种相对简单的连续系统振动方程的推导方法，包括均质杆的纵向振动、圆轴的扭转振动、弦的横向振动以及梁的横向振动等。
方程推导过程与以前的单自由度系统和多自由度系统不同，不是利用一般的动力学方法，而是取单元体，研究其动平衡。
注意与材料力学的相关章节做对比。
1. 杆的纵向振动
假设杆在振动过程中的横截面保持为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。如图所示，设弹性直杆长为，横截面积为，材料弹性模量为，质量密度为，轴向干扰力密度为。取轴向坐标，坐标原点在杆的左端，轴向振动位移用表示。
在x处取dx微段，横截面上的轴力为P，受力如图
由牛顿定律得
其中
2. 圆轴的扭转振动
假设圆轴扭转振动过程中的横截面保持为平面，以截面的扭转角作为广义坐标。设为横截面上的扭矩，为单位长度的圆轴对轴线的转动惯量, 为材料的剪切弹性模量，为横截面对扭转中心的极惯性矩，为单位长度圆轴所受的外力偶矩。
在坐标x处取dx微段，受力如图所示。
根据定轴转动微分方程得
对于等截面轴，与均为常量，方程可写成
自由振动时
其中
3. 弦的横向振动
设弦的长度为，质量密度为，横截面积为，单位长度所受的横向外干扰力为，张力为。
以变形前弦的方向为轴，横向振动位移为。对于图示长度为dx的微元体有
如果弦是均匀的，且张力T为常量，则上式可简化为
如果外干扰力f(x,t)为零，则得到自由振动方程
其中
4. 梁的横向振动
这里仅限于讨论梁的平面弯曲振动，这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，梁的纵向对称面，是最常见的主平面。假设梁的长度为，横截面对中性轴的惯性矩为，材料的弹性模量为，质量密度为，单位长度梁上的横向干扰力为，干扰力偶为。 在梁的主平面上取坐标如图，轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移均沿轴方向，忽略剪切变形的影响，横截面始终保持为平面，并与运动的轴线保持垂直。这样，梁内任意一点的位移，均可用轴线的位移表达。当梁的跨度比横截面的高度大得多时，这种假设是正确的。
取长度为dx微段梁的分离体，以M、Q分别表示截面上的弯矩与剪力，受力如图。
当忽略微段梁转动惯量的影响时，沿z方向以及绕中心点转动的运动方程为
↓↓ 资料来源 ↓↓
1. 苗同臣. 振动力学. 中国建筑工业出版社，20172. 苗同臣. 振动力学习题精解与MATLAB应用，中国建筑工业出版社，2019
Email：zdmw@zzu.edu.cn
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